Mi nombre es Diego Alejandro Ríos Carrillo, nací en la ciudad de Latacunga provincia de Cotopaxi, Ecuador el 21 de Abril de 1996. Tengo 20 años de edad soy estudiante de la Escuela Politécnica Nacional, en la carrera de Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones.
Me gusta mucho la tecnología, conocer más sobre los distintos avances en este campo, que en el mundo se van desarrollando con una velocidad impresionante. Las nuevas tecnologías de la información y codificación son un aporte muy grande en el mundo que vivimos, un ejemplo claro son las telecomunicaciones que nos permiten estar comunicados constantemente y al instante de que ocurre un acontecimiento. Bajo mi concepto una persona que no conoce sobre estos temas tecnológicos se pierde la oportunidad de adentrarse en el maravilloso mundo del saber, y del conocimiento.
El presente blog es para difundir, resumir, sintetizar y aclarar más de cerca los temas que se desarrollan en la cátedra de Matemática Avanzada en la Escuela Politécnica Nacional, dictada por la Ingeniera Mónica Mantilla.
Los números complejos, simbolizados por C, son una generalización de los números reales.
Para empezar es necesario saber donde se encuentran los números complejos dentro de la clasificación, que en este caso se puede notar que son los números que abarcan a todos los demás números que han sido antes estudiados.
NOTACIÓN
CARTESIANA:
Gráfica de un número complejo, se toma como referencia para el eje de los imaginarios el eje Y y el eje X como referencia para los reales.
Los números complejos se pueden definir como pares ordenados de números reales z = (a, b). A esta notación de par ordenado se le conoce como la notación Cartesiana del número complejo z.
Donde:
a = Re(z)
b = Im(z)
BINÓMICA:
A esta notación se le conoce como notación Binómica o Algebraica.
z = (x, y) = x + y i
POLAR:
Si (r, θ) son las coordenadas polares del complejo z = x + y i, diremos que θ es el argumento de z o que arg(z) = θ.
z = x + y i
= (r cos(θ)) + (r sen(θ)) i
= r (cos(θ) + isen(θ))
= r Cis(θ)
= r eθi ← Notación de Euler
= rθ ← Notación de Fasor
θ = tan−1(Im (z)/Re (z))
Trigonométrica:
z = r * cis(θ) = r*(cosθ + i senθ)
Exponencial:
z = r * (e^(-iθ))
Teorema de Euler:
z = e^(-iθ) = cos θ + i*sen θ
IGUALDAD ENTRE NÚMEROS COMPLEJOS
Dos complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales.
Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos números complejos.
z1 = z2, si y sólo si
a1 = a2 y b1 = b2.
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
SUMA:La suma de z1 y z2, z1 + z2, es el número complejo:
z1 + z2 = (a1 + a2, b2 + b2)
RESTA:La resta de z2 a z1, z1 − z2 es el número complejo:
z1 − z2 = (a1 − a2, b2 − b2)
MULTIPLICACIÓN:Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos números complejos. La multiplicación de z1 con z2 es el número complejo:
z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2, a1 · b2 + b1 · a2)
INVERSOS MULTIPLICATIVOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
Considere el número complejo z = a + b i y supongamos que se cumple que a2 + b2 ≠ 0
POTENCIAS DE i
MÓDULO Y CONJUGADO DE Z
Considere el número complejo z = x + y i. Se define el módulo de z como:
En términos geométricos, el módulo de z es la distancia desde el punto z = (x, y) al origen.
El conjugado de z es el número complejo:
POTENCIAS Y RAÍCES Las potencias y las raíces de un número complejo son fáciles de calcular cuando el complejo se encuentra en su notación polar:
Todas las raíces de un número complejo z = r CIS(θ) pueden ser calculadas por la fórmula:
A Zk=0 se le llama raíz principal.
También como resumen vi conveniente compartir las notas tomadas en clases, que sintetizan de una manera más clara todo lo visto durante el mes de Abril.
A continuación se pone a disposición el link:
Representa que la distancia de z a z1 es menor que la distancia de z a z2
Esto significa que z está en el lado donde está z1 de la bisectriz del segmento que conecta z1 ^ z2
A continuación se muestra un video que explica mejor lugares geométricos:
Funciones de variable compleja
f: D ⊆ C → E ⊆ C
z = (x, y) → w = f(z) = u + iv
w = f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
Dónde: u, v son funciones reales de 2 variables
No es posible representar gráficamente una función de variable compleja ya que
se requiere de 4 dimensiones R4
Existen opciones para este caso:
1. Se puede representar alguna de sus partes:
La parte real de f(z): Re[f(z)]
La parte imaginaria de f(z): Re[f(z)]
El módulo de f(z): |f(z)|
El argumento principal: arg[f(z)]
2. Representar en el plano complejo la posición de los ceros y los polos.
3. Trazar en el plano complejo las curvas de nivel de la parte real o de la parte
4. Transformaciones o mapeos.
Límites y continuidad
Límites
Se muestra un ejemplo para calcular el límite en los complejos:
Derivadas de funciones complejas
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
A continuación se tiene ejemplos de las ECR
Función analítica
Una función compleja f(z) es analítica, si y sólo si es derivable para todo z de algún disco D de centro Zo; D: |z-zo|<r; además se puede llegar a la conclusión que es analítica si y solamente si satisface las ECR
Propiedades:
·Si f(z) = U(x,y) + iV(x,y) es analítica en un dominio D, entonces U, V satisfacen las ECR para todo (x,y) en D.
·Sea f(z) = U(x,y) + iV(x,y). Si U ^ V y sus derivadas parciales son continuas y además satisfacen las ECR, la función f(z) es analítica.
·Sea f(z) = U(x,y) + iV(x,y) analítica en un dominio D, entonces U ^ V son armónicas en D, es decir satisface:
Funciones trascendentes
Integración en el plano complejo
- También se tienen las siguientes observaciones:
- z(a) ^ z(b) son los puntos inicial y final respectivamente, o puntos extremos
- Si z(a) = z(b), entonces gamma se llama curva cerrada
- La dirección positiva de gamma es la que determina el orden creciente del parámetro "f"
- Como x(t) ^ y(t) son continuas en [a,b] y también se supone que existe z'(t) = x' (t) + iy'(t) en [a,b] y z'(t) es diferente de 0, para todo z que existe [a,b], entonces la curva gamma es una curva suave.
- Si t1, t2 pertenece [a,b] con z1 y z2 diferentes; t1 < t2 y z(t1) = z(t3), entonces la curva gamma se intercepta así misma (o tiene punto doble).
- A continuación un video para entender mejor el tema:
Ejemplo:
Integrales de línea
Ecuación vectorial de la recta
Conjunto simplemente conexo
Integrales cerradas
Curva simple
Es aquella curva que no presenta entrelazamiento.
Propiedades
Propiedad 1
Propiedad 2
Propiedad 3
Propiedad 4
Integrales de Cauchy
- Si f es analítica en D, un dominio simplemente conexo
- Sea gamma una curva cerrada simple en D, que encierra a Zo, entonces:
Propiedad 5
- Fórmula de Cauchy para derivadas de orden superior:
- Si f es analítica en un dominio simplemente conexo D y sea Zo en D, entonces F tiene derivadas de todos los órdenes en Zo, y la "n" - ésima derivada de f en Zo, se calcula, siguiendo el corolario:
- Se recomienda observar el libro Variable Compleja de Eduardo Espinoza Ramos para poder entender de mejor manera todo lo que se a dicho en el presente resumen.
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