Junio

Sucesiones y series

1. Son similares a las sucesiones y series de números reales.
2. Se aplican los mismos criterios de análisis de convergencia que para sucesiones y series de números reales.
3. La serie de Laurent, es la única que es propiamente de variable  compleja.

Sucesiones.

Una sucesión compleja es una función de los números naturales N en los complejos C.

Las sucesiones se simbolizan con:

Propiedades

1. Sea zn= xn,iyn para cada entero positivo n y sea L= a + bi

entonces

-------->   

2. zn + wn ------>   L + K

3. ɑzn ----->   ɑL ; ɑEC

4. zn . wn ----->   L.K

5. zn / wn --->   L/K

Series

- Si sumamos los elementos de una sucesión, obtendremos una serie que la representamos:.

- La convergencia de una serie compleja se determina por el análisis de las series reales que la conforman.

Propiedades

1. Sea Zn= Zn+iYn para cada entero positivo n y sea L= a + bi entonces:

converge <----------->  converge  y converge

2. Si converge a “a” ^ converge a “b”, entonces converge a “a + bi”

3. Si   converge,  zn---->0

Series especiales

• Serie geométrica

• Serie armónica

Criterios de convergencia

Criterio de la razón D'Alembert

Criterio de Cauchy (criterio de la raíz)

Criterio de la comparación

Series de potencia

Propiedades:

Series de Taylor

Una función analítica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor compleja, similar que para funciones reales.

Propiedad:

1. Si f es analítica en Zo, f tiene un desarrollo mediante una serie de Taylor, representado por:

para todo Z dentro de un disco |Z- Zo| < r

Nota: Si Zo = 0, entonces la serie toma el nombre de Serie de M'Claurin:

Otro método para sacar serie de Taylor.

Por sustitución:

Por división:

Serie de Laurent