Mayo

Lugares geométricos en los complejos

Distancia.

   Si  z = x + iy; entonces |z| = sqrt (x^2 + y^2)  que es la distancia del origen a z

Circunferencia:

|z - zo | = r ; donde zo es el centro, r es el radio.

Si z = x + iy; zo = xo + iyo entonces 

| z - zo| = |(x+ iy) - (xo + iyo)| = r

Resolviendo se tiene:

(x-xo)^2 + (y-yo)^2 = 1

Que es la ecuación de la circunferencia con centro en (xo,yo) y radio 1

Disco:

Si z = x + iy; zo = (xo + iyo); entonces

|z - zo| <= r

Rectas:

Si se tiene z1 ^ z2, entonces

|z-z1| = |z-z2|

Usando las definiciones de los números complejos:

z = x + iy ; z1 = x1 + iy1 ; z2 = x2 + iy2

Reemplazando y resolviendo se llega a tener la ecuación de la recta:

y = (x2^2 - x1^2 + y2^2 - y1^2)/2(y2-y1) - x(x2-x1)/(y2-y1)

Semiplanos:

Sean z1 ^ z2, entonces |z-z1| < |z-z2|

Representa que la distancia de z a z1 es menor que la distancia de z a z2

Esto significa que z está en el lado donde está z1 de la bisectriz del segmento que conecta z1 ^ z2

A continuación se muestra un video que explica mejor lugares geométricos:

 Funciones de variable compleja

f: D ⊆ C → E ⊆ C

z = (x, y) → w = f(z) = u + iv

w = f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

Dónde: u, v son funciones reales de 2 variables

 No es posible representar gráficamente una función de variable compleja ya que

se requiere de 4 dimensiones R4

 Existen opciones para este caso:

1. Se puede representar alguna de sus partes:

 La parte real de f(z): Re[f(z)]

 La parte imaginaria de f(z): Re[f(z)]

 El módulo de f(z): |f(z)|

 El argumento principal: arg[f(z)]

2. Representar en el plano complejo la posición de los ceros y los polos.

3. Trazar en el plano complejo las curvas de nivel de la parte real o de la parte

4. Transformaciones o mapeos.

Límites y continuidad

Límites

Se muestra un ejemplo para calcular el límite en los complejos:

Derivadas de funciones complejas

Ecuaciones de Cauchy - Riemann

A continuación se tiene ejemplos de las ECR

Función analítica

Una función compleja f(z) es analítica, si y sólo si es derivable para todo z de algún disco D de centro Zo; D: |z-zo|<r; además se puede llegar a la conclusión que es analítica si y solamente si  satisface las ECR

Propiedades:

·         Si f(z) = U(x,y) + iV(x,y) es analítica en un dominio D, entonces U, V satisfacen las ECR para todo (x,y) en D.

·         Sea f(z) = U(x,y) + iV(x,y). Si U ^ V y sus derivadas parciales son continuas y además satisfacen las ECR, la función f(z) es analítica.

·         Sea f(z) = U(x,y) + iV(x,y) analítica en un dominio D, entonces U ^ V son armónicas en D, es decir satisface:

Funciones trascendentes

Integración en el plano complejo

- También se tienen las siguientes observaciones:

   

     - z(a) ^ z(b) son los puntos inicial y final respectivamente, o puntos extremos

     - Si z(a) = z(b), entonces gamma se llama curva cerrada

     - La dirección positiva de gamma es la que determina el orden creciente del parámetro "f"

     - Como x(t) ^ y(t) son continuas en [a,b] y también se supone que existe z'(t) = x' (t) + iy'(t) en             [a,b] y z'(t) es diferente de 0, para todo z que existe [a,b], entonces la curva gamma es una curva          suave.

     - Si t1, t2 pertenece [a,b] con z1 y z2 diferentes; t1 < t2 y z(t1) = z(t3), entonces la curva gamma           se intercepta así misma (o tiene punto doble).

- A continuación un video para entender mejor el tema:

Ejemplo:

Integrales de línea

Ecuación vectorial de la recta

Conjunto simplemente conexo

Integrales cerradas

Curva simple

Es aquella curva que no presenta entrelazamiento.

Propiedades

Propiedad 1

Propiedad 2

Propiedad 3

Propiedad 4

Integrales de Cauchy

 - Si f es analítica en D, un dominio simplemente conexo

- Sea gamma una curva cerrada simple en D, que encierra a Zo, entonces:

Propiedad 5

- Fórmula de Cauchy para derivadas de orden superior:

- Si f es analítica en un dominio simplemente conexo D y sea Zo en D, entonces F tiene derivadas de todos los órdenes en Zo, y la "n" - ésima derivada de f en Zo, se calcula, siguiendo el corolario:

- Se recomienda observar el libro Variable Compleja de Eduardo Espinoza Ramos para poder entender de mejor manera todo lo que se a dicho en el presente resumen.