Abril

NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos, simbolizados por C, son una generalización de los números reales.

Para empezar es necesario saber donde se encuentran los números complejos dentro de la clasificación, que en este caso se puede notar que son los números que abarcan a todos los demás números que han sido antes estudiados.

NOTACIÓN

• CARTESIANA:
• Gráfica de un número complejo, se toma como referencia para el eje de los imaginarios el eje Y y el eje X como referencia para los reales.

Los números complejos se pueden definir como pares ordenados de números reales z = (a, b). A esta notación de par ordenado se le conoce como la notación Cartesiana del número complejo z.

Donde:

a = Re(z) 

b = Im(z)

• BINÓMICA:

A esta notación se le conoce como notación Binómica o Algebraica.

z = (x, y) = x + y i

• POLAR:

Si (r, θ) son las coordenadas polares del complejo z = x + y i, diremos que θ es el argumento de z o que arg(z) = θ.

z = x + y i

                            = (r cos(θ)) + (r sen(θ)) i

                      = r (cos(θ) + isen(θ))

     = r Cis(θ)

                                   = r e^θi  ← Notación de Euler

                               = r_θ  ← Notación de Fasor

θ = tan−1(Im (z)/Re (z))

• Trigonométrica:

                     z = r * cis(θ) = r*(cosθ + i senθ)

• Exponencial:

                     z = r * (e^(-iθ))

• Teorema de Euler:

                     z = e^(-iθ) = cos θ + i*sen θ

    

IGUALDAD ENTRE NÚMEROS COMPLEJOS

Dos complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales.

Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos números complejos.

z1 = z2, si y sólo si 

a1 = a2 y b1 = b2.

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

• SUMA: La suma de z1 y z2, z1 + z2, es el número complejo:

z1 + z2 = (a1 + a2, b2 + b2)

• RESTA: La resta de z2 a z1, z1 − z2 es el número complejo:

z1 − z2 = (a1 − a2, b2 − b2)

• MULTIPLICACIÓN: Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos números complejos. La multiplicación de z1 con z2 es el número complejo:

z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2, a1 · b2 + b1 · a2)

INVERSOS MULTIPLICATIVOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

Considere el número complejo z = a + b i y supongamos que se cumple que a² + b² ≠ 0 

POTENCIAS DE i

MÓDULO Y CONJUGADO DE Z

Considere el número complejo z = x + y i. Se define el módulo de z como:

En términos geométricos, el módulo de z es la distancia desde el punto z = (x, y) al origen. 

El conjugado de z es el número complejo:

POTENCIAS Y RAÍCES 
Las potencias y las raíces de un número complejo son fáciles de calcular cuando el complejo se encuentra en su notación polar:

Todas las raíces de un número complejo z = r CIS(θ) pueden ser calculadas por la fórmula:

A Z_{k=0 se le llama raíz principal.}

También como resumen vi conveniente compartir las notas tomadas en clases, que sintetizan de una manera más clara todo lo visto durante el mes de Abril.
A continuación se pone a disposición el link:

https://drive.google.com/file/d/0B-e8sz0S2koCcWViRDMtTFpmRGc/view?usp=sharing